№41647

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Две прямые делят треугольник на три треугольника и один четырёхугольник. На рисунке цифрами обозначены площади этих треугольников. Найдите площадь четырёхугольника.

Ответ

3.4

Решение № 41630:

Пусть чевианы \(АК\) и \(СМ\) треугольника \(АВС\) пересекаются в точке \(О\) и делят его на четырёхугольник \(МОВК\) и треугольники \(АМО, СОК\) и \(АОС\) с площадями 2, 3 и 6. Давайте обозначим площадь данного четырёхугольника буквой \(х\) и сделаем дополнительное построение: проведём отрезок \(МК\). А теперь применим свойство «воздушного змея» к четырёхугольнику \(АМКС: 6 \cdot S_{MOK} = 2 \cdot 3\). Откуда следует \(S_{MOK} = 1\). Значит, площадь треугольника \(МВК\) будет равна \(х – 1\). Как нам составить уравнение для неизвестной \(х\)? Посмотрите на треугольник \(СМВ\): чевиана \(МК\) делит его на два треугольника с площадями \(х – 1\) и 4. Поэтому для них можно записать пропорцию \(ВК : СК = (х – 1) : 4\). А теперь давайте такую же пропорцию запишем для треугольника \(АВС\) и его чевианы \(АК\). Тогда мы получим, что \(ВК : СК = (х + 2) : 9\). Значит, должно выполняться уравнение \((х – 1) : 4 = ( х + 2) : 9\). Откуда следует, что \(х = 3,4\). Ответ: 3,4.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/, 821-1, 821-2.png'>