№41641

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Площадь треугольника \(АВС\) равна 1. На его сторонах \(ВС\) и \(АС\) взяли точки \(К\) и \(М\) так, что \(АМ : СМ = 1 : 2, ВК : СК = 1 : 3\). Отрезки \(АК\) и \(ВМ\) пересекаются в точке \(О\). Найдите площадь треугольника \(ВОК\).

Ответ

\(\frac{1}{12}\)

Решение № 41624:

Обозначим площадь треугольника \(ВОК\) буквой \(х\) и проведём отрезок \(ОС\). Теперь по свойству чевианы в треугольнике \(ВОС\) найдём площадь треугольника \(СОК\). Она будет равна \(3х\). Значит, весь треугольник \(ВОС\) будет иметь площадь \(4х\). А теперь посмотрите на чевиану \(ВМ\). По свойству «дельтаплана» площади треугольников \(АОВ\) и \(СОВ\) должны относиться как отрезки \(АМ\) и \(СМ\). Поэтому должно быть \(S_{AOB} : 4х = 1 : 2\). Откуда \(S_{AOB} = 2х\). Нам осталось применить свойство «дельтаплана» ко второй чевиане \(АК\). На ней площади его «крыльев» \(АОС\) и \(АОВ\) относятся как отрезки \(СК\) и \(ВК\). Значит, \(S_{AOC} : 2х = 1 : 3\). Откуда получаем \(S_{AOC} = 6х\). Площадь всего треугольника \(АВС\) равна сумме площадей его частей. Если мы сложим площади треугольников \(АОВ, ВОС\) и \(АОС\), то получим уравнение \(2х + 4х + 6х = 1\). Откуда получаем, что \(х = \frac{1}{12}\). Ответ: \(\(\frac{1}{12}\)\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/, 815-1, 815-2.png'>