№41384

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Дана окружность и точка внутри неё. Впишите в эту окружность квадрат так, чтобы данная точка лежала на его стороне.

Ответ

NaN

Решение № 41367:

Сделаем вначале анализ задачи. Предположим, что нужный нам квадрат \(АВСD\) уже построен. Легко видеть, что центр \(О\) данной окружности лежит на пересечении его диагоналей, а диагонали разбивают квадрат на четыре равных треугольника. Причём точно такие же треугольники получатся при проведении диагоналей любого другого квадрата, вписанного в данную окружность. Поэтому расстояния от центра окружности \(О\) до сторон любого такого квадрата будут одинаковы и равны \(h\). Значит окружность с центром \(О\) и радиусом \(h\) будет касаться всех его сторон. Но тогда прямая \(АВ\) должна касаться этой окружности и проходить через точку \(Т\). Значит, эту прямую можно построить как касательную к окружности \((О; h)\) из точки \(Т\). Получив точки \(А\) и \(В\), мы легко уже построим нужный квадрат. Построение. 1. Cтроим центр окружности \(О\). 2. Проводим произвольный диаметр \(ЕF\) окружности. 3. Строим диаметр \(МК\), перпендикулярный \(ЕF\) и получаем квадрат \(ЕМFK\). 4. Опускаем из точки \(О\) перпендикуляр \(ОН = h\) на сторону \(ЕМ\) этого квадрата. 5. Строим окружность \((О; h)\). 6. Проводим касательную из точки \(Т\) к окружности \((О; h)\), которая пересекает данную нам окружность в точках \(А\) и \(В\). 7. Проводим диаметры через точки \(А\) и \(В\) данной нам окружности и получаем точки \(С\) и \(D\). Нужный квадрат \(АВСD\) построен. Исследование. Квадрат можно построить только, если точка \(Т\) лежит вне круга \((О; h)\) или на его границе. Для точек, лежащих на окружности \((О; h)\) такой квадрат можно построить единственным способом. Для точек \(Т\), лежащих вне круга \((О; h)\) таких квадратов будет два – поскольку касательных източки \(Т\) к окружности \((О; h)\) можно провести тоже две. Оба решения показаны на рисунке.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/, 558-1, 558-2, 558-3.png'>