№41383

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Две окружности касаются внешним образом в точке \(А\). Одна прямая касается их в точках \(В\) и \(С\). Найдите угол \(ВАС\). Ответ дать в градусах.

Ответ

\(90^{\circ}\)

Решение № 41366:

Пусть данные окружности имеют центры в точках \(O_{1}\) и \(O_{2}\) . Их радиусы \(O_{1}В\) и \(O_{2}С\) должны быть перпендикулярны прямой \(ВС\) по теореме о касательной. Поскольку окружности касаются в точке \(А\), эта точка должна лежать на отрезке \(O_{1}O_{2}\) . Радиусы первой окружности образуют равнобедренный треугольник \(O_{1}АВ\), поэтому при его основании \(АВ\) углы равны \(\alpha\). Радиусы второй окружности образуют так же равнобедренный треугольник \(O_{2}AС\) с углами \(\beta\) при основании \(АС\). Давайте теперь обозначим величину искомого угла \(ВАС\) буквой \(\gamma\). Поскольку угол \(O_{1}АO_{2}\) развернутый, то должно быть \(\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}\). В то же время углы \(АВС\) и \(АСВ\) будут равны \(90^{\circ} – \alpha\) и \(90^{\circ} – \beta\) соответственно. Запишем в треугольнике \(АВС\) сумму его углов: \(90^{\circ} – \alpha + 90^{\circ} – \beta + \gamma = 180^{\circ}\). Откуда следует, что \(\gamma = \alpha + \beta\). Значит, \(180^{\circ} = \alpha + \beta + \gamma = 2\gamma\) . Поэтому \(\gamma = 90^{\circ}\). Ответ: \(90^{\circ}\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/, 557-1.png'>