№41382

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Две окружности вписаны в угол \(60^{\circ}\), причём одна из них проходит через центр другой. Найдите отношение их радиусов.

Ответ

r/R = 2:3

Решение № 41365:

Пусть две окружности с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) вписаны в угол с вершиной \(А\), причем \(O_{2}\) лежит на меньшей из них. Обозначим радиус меньшей окружности буквой \(r\), а точку её касания со стороной угла как \(K_{1}\). Радиус большей окружности соответственно обозначим как \(R\), и точку её касания со стороной \(K_{2}\). Поскольку окружности вписаны в угол, их центры лежат на его биссектрисе. Следовательно, углы \(O_{1}АK_{1}\) и \(O_{2}АK_{2}\) равны \(30^{\circ}\). Кроме того, по теореме о касательной радиусы \(O_{1}K_{1}\) и \(O_{2}K_{2}\) окружностей перпендикулярны сторонам нашего угла. Посмотрите на прямоугольный треугольник \(АO_{1}K_{1}\): он имеет острый угол \(30^{\circ}\). По свойству такого треугольника его гипотенуза должна быть в два раза больше катета \(O_{1}K_{1}\) . Значит, \(АO_{1} = 2r\). Точно так же из треугольника \(АO_{2}K_{2}\) мы получим, что \(АO_{2} = 2R\). Поскольку центр \(O_{2}\) лежит на меньшей окружности, то \(O_{1}O_{2} = r\). Поэтому отрезок \(АO_{2}\) равен \(2r + r = 3r\). Значит, мы получаем уравнение \(3r = 2R\). Откуда следует, что \(r/R = 2:3\). Ответ: \(r/R = 2:3\).