№41380

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Касательные и секущие,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Окружность касается сторон угла в двух точках. Найдите величину этого угла, если отрезок, соединяющий данные точки, равен радиусу этой окружности. Ответ дать в градусах.

Ответ

\(120^{\circ}\)

Решение № 41363:

Обозначим вершину угла буквой \(А\), точки касания окружности с его сторонами буквами \(М\) и \(К\), а её центр \(О\). По теореме о касательной радиусы \(ОМ\) и \(ОК\) окружности перпендикулярны сторонам угла. Отрезок \(МК\) по условию задачи равен радиусу окружности, поэтому треугольник \(МОК\) будет равносторонним. Значит, его углы \(ОМК\) и \(ОКМ\) должны быть равны \(60^{\circ}\). Следовательно, углы \(АМК\) и \(АКМ\) равны \(90^{\circ} – 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Из треугольника \(АМК\) легко найти, что его угол при вершине \(А\) равен \(120^{\circ}\). Ответ: \(120^{\circ}\).