№41301

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Окружность с центром \(О\) проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и вторично пересекает его катеты в точках \(М\) и \(К\). Найдите \(МК\), если расстояние от точки \(О\) до гипотенузы равно 1.

Ответ

2

Решение № 41284:

Обозначим гипотенузу данного нам треугольника \(АВ\) и опущенный на неё из центра окружности перпендикуляр \(ОН\). Сделаем дополнительное построение: проведём диаметр окружности \(ВD\). По свойствам окружности углы \(ВАD\) и \(ВКD\) будут прямыми, а точка \(Н\) будет серединой хорды \(АВ\). Значит, отрезок \(ОН\) будет средней линией треугольника \(АВD\). Следовательно, \(АD = 2ОН = 2\). Поскольку данный нам треугольник прямоугольный, то прямые \(АМ\) и \(DК\) должны быть параллельны. Значит, четырёхугольник \(АMКD\) будет трапецией. Мы знаем, что трапеция, вписанная в окружность, должна быть равнобокой, следовательно \(МК = АD = 2\). Ответ: 2.