№41300

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

В трапеции \(АВСD\) сторона \(АD\) в 2 раза больше стороны \(ВС\). Точку \(О\) взяли так, что углы \(АВО\) и \(DСО\) равны \(90^{\circ}\). Докажите, что \(АО = DО\).

Ответ

NaN

Решение № 41283:

Сделаем дополнительное построение: продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке \(М\). Тогда отрезок \(ВС\) будет средней линией треугольника \(АМD\) по признаку, поскольку он параллелен основанию \(АD\) этого треугольника и равен его половине. Но тогда точки \(В\) и \(С\) должны быть серединами сторон этого треугольника, а прямые \(ВО\) и \(СО\) – серединными перпендикулярами к этим сторонам. Значит, точка \(О\) – это пересечение серединных перпендикуляров треугольника \(АМD\). Следовательно, она должна быть равноудалена от всех его вершин, поэтому \(АО = DО\). Ч. т. д.