№41299

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

В четырёхугольнике \(АВСD\) сторона \(АВ\) равна стороне \(СD\), а угол \(АВС\) равен углу \(ВСD\). Докажите, что этот четырёхугольник можно вписать в окружность.

Ответ

NaN

Решение № 41282:

Пусть углы при вершинах \(В\) и \(С\) данного четырёхугольника имеют величину \(\alpha > 90^{\circ}\). Опустим из вершин \(А\) и \(D\) на прямую \(ВС\) перпендикуляры \(АH_{1}\) и \(DH_{2}\) . Углы \(АВH_{1}\) и \(DCH_{2}\) будут равны \(180^{\circ} – \alpha\), поскольку они смежные с углами четырёхугольника. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(АВH_{1}\) и \(DCH_{2}\) . Они равны, поскольку равны их гипотенузы и острые углы. Поэтому должно быть \(АH_{1} = DH_{2}\) . Это значит, что точки \(А\) и \(D\) находятся на равных расстояниях от прямой \(ВС\) и лежат по одну сторону от неё. Следовательно, прямые \(ВС\) и \(АD\) параллельны по признаку. Но тогда четырёхугольник \(АВСD\) будет равнобокой трапецией. А мы уже доказали, что равнобокую трапецию можно вписать в окружность. Следовательно, в окружность можно вписать данный нам четырехугольник. Случай \(\alpha < 90^{\circ}\) разбирается точно так же. Если же \(\alpha = 90^{\circ}\), то данный четырёхугольник будет прямоугольником, который тоже можно вписать в окружность. То есть утверждение задачи верно в любом случае. Ч. т. д.