№41297

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

В окружности провели две перпендикулярные хорды. Докажите, что расстояние между серединами этих хорд равно расстоянию от центра окружности до точки их пересечения.

Ответ

NaN

Решение № 41280:

Пусть в окружности с центром \(О\) проведены две перпендикулярные хорды \(АВ\) и \(СD\), которые пересекаются в точке \(М\). Отметим середины данных хорд – точки \(Е\) и \(К\). Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой её хорде, поэтому прямые \(ОЕ\) и \(ОК\) перпендикулярны данным хордам. Четырёхугольник \(ОКМЕ\) имеет три прямых угла, значит, он является прямоугольником. По известному свойству диагонали прямоугольника равны, следовательно \(ЕК = ОМ\). Ч. т. д.