№41211

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

В треугольник вписан квадрат так, как показано на рисунке. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника и высота, опущенная на него, равны а и h.

Ответ

\(\frac{ah}{(a + h)}\)

Решение № 41194:

Пусть в треугольнике \(АВС\) основанием служит сторона \(АС\), и на ней лежит сторона \(МN\) вписанного в этот треугольник квадрата \(МЕKN\), у которого две другие вершины лежат на сторонах \(АВ\) и \(ВС\) данного треугольника. Обозначим неизвестную сторону квадрата буквой \(х\), а длины отрезков \(АЕ\) и \(ВЕ\) буквами \(m\) и \(n\). Противоположные стороны квадрата параллельны, следовательно, треугольники \(ЕВK\) и \(АВС\) подобны по первому признаку. Давайте для его сторон запишем пропорцию \(х : а = n : (m + n)\). Опустим теперь на основание \(АС\) высоту \(ВН\). Сторона \(МЕ\) квадрата будет параллельна данной высоте, следовательно, треугольник \(АЕМ\) будет подобен треугольнику \(АВН\) по первому признаку. Значит, для их сторон тоже можно записать пропорцию \(х : h = m : (m + n)\). Если сложить эти две пропорции, получим, что \(\frac{x}{a} + \frac{x}{h} = \frac{m}{m + n} + \frac{n}{m + n} = 1\). Откуда \(x = \frac{ah}{(a + h)}\). Ответ: \(x = \frac{ah}{(a + h)}\).