№41210

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основа_x0002_ниям проведена прямая. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри трапеции, если основания равны а и b.

Ответ

\(\frac{2ab}{(a + b)}\)

Решение № 41193:

Пусть нам дана трапеция \(АВСD\), диагонали которой пересекаются в точке \(О\). Через точку \(О\) параллельно основаниям про ходит отрезок \(ЕF\). Вначале мы будем искать длину отрезка \(ОЕ\), поэтому обозначим её буквой \(х\). Для удобства записи давайте обозначим длины отрезков \(АЕ\) и \(ВЕ\) буквами \(m\) и \(n\). Поскольку прямая \(ОЕ\) параллельна основанию \(ВС\) трапеции, то треуголь ник \(АЕО\) будет подобен треугольнику \(АВС\). Значит, можно записать первую пропорцию \(х : а = m : (m + n)\). Точно так же треугольник \(ЕВО\) будет подобен треугольнику \(АВD\), поскольку прямая \(ЕО\) параллельна основанию \(АD\). Следовательно, должна быть верна вторая пропорция \(\(х : b = n : (m + n)\). А теперь давайте сложим две эти пропорции. Тогда мы получим такое уравнение \(\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = \frac{m}{m + n} + \frac{n}{m + n} = 1\). Откуда \(x = \frac{ab}{(a + b)}\). Нам осталось вычислить отрезок \(ОF\). Чему же он равен? Да тому же самому! Ведь при вычислении отрезка \(ОЕ\) мы нигде не использовали того, что этот отрезок лежит слева от точки \(О\), а не справа.Значит, отрезок \(EF = 2EO = 2x = \frac{2ab}{(a + b)}\) Ответ: \(x = \frac{2ab}{(a + b)}\).