№41153

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника, средняя линия треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

На стороне \(АС\) треугольника \(АВС\) взяли точку \(М\) так, что \(АМ : СМ = 3 : 4\). Точка \(О\) – середина отрезка \(ВМ\). В каком отношении прямая \(АО\) делит сторону \(ВС\) треугольника?

Ответ

3 : 7

Решение № 41136:

Обозначим точку пересечения прямой \(АО\) и \(ВС\) буквой \(Е\). Сделаем дополнительное построение: через точку \(М\) параллельно прямой \(АО\) проведём прямую до пересечения со стороной \(ВС\) в точке \(K\). Применим теперь теорему о пропорциональных отрезках для угла \(АСВ\). Тогда получим, что \(ЕК : СK = АМ : СМ = 3 : 4\). Следовательно длины отрезков \(ЕK\) и \(СK\) можно обозначить как \(3b\) и \(4b\). А теперь мы применим теорему о пропорциональных отрезках для угла \(МВС\). Тогда \(ВЕ : ЕK = ВО : ОМ = 1\). Значит, \(ВЕ = ЕK = 3b\). Откуда получаем, что \(ВЕ : ЕС = 3b : 7b = 3 : 7\). Ответ: 3 : 7.