№41152

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника, средняя линия треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Точки \(Е\) и \(K\) середины сторон \(АD\) и \(СD\) параллелограмма \(АВСD\). Отрезки \(СЕ\) и \(ВK\) пересекаются в точке \(О\). Найдите отношение \(СО : ОЕ\).

Ответ

2 : 3

Решение № 41135:

Сделаем дополнительное построение: продолжим прямую \(ВЕ\) до пересечения с прямой \(АD\) в точке \(М\). Тогда мы получим треугольники \(ВСK\) и \(ЕDМ\), которые будут равны по двум углам и стороне между ними. В самом деле, у них \(СK = KD\), углы с вершинами \(С\) и \(D\) равны как накрест лежащие при параллельных, а углы с вершиной \(К\) вертикальные. Значит, равны их стороны \(DМ\) и \(ВС\). Обозначим длину этих отрезков как \(2а\). По свойству параллелограмма его сторона \(АD\) тоже равна \(2а\). Значит, отрезок \(ЕD = а\). Рассмотрим теперь трапецию \(ЕВСМ\). Длины её оснований \(ВС\) и \(ЕМ\) равны \(2а\) и \(3а\), а диагонали пересекаются в точке \(О\). По свойству диагоналей трапеции они делят друг на части, которые относятся между собой как основания трапеции. Поэтому СО : ЕО = 2а : 3а = 2 : 3. Ответ: 2 : 3.