№41089

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника, средняя линия треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

На биссектрисы двух углов треугольника из третьей его вершины опустили перпендикуляры. Найдите отрезок между основаниями этих перпендикуляров, если стороны треугольника равны \(a, b\) и \(c\).

Ответ

\(\frac{(a + b - c)}{2}\)

Решение № 41072:

Пусть из вершины \(В\) треугольника \(АВС\) на биссектрисы его углов \(А\) и \(С\) опустили перпендикуляры \(BM\) и \(BN\). Нам необходимо выразить отрезок \(МN\) через длины сторон треугольника. Сделаем дополнительное построение: продолжим эти два перпендикуляра до пересечения с основанием \(AC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Тогда в треугольниках \(ABF\) и \(CBE\) отрезки \(AN\) и \(CM\) будут биссектрисами и высотами. Значит, треугольники \(ABF\) и \(CBE\) будут равнобедренными по признаку. Следовательно, \(AB = AF = a, CB = CE = b\). Кроме того, в равнобедренных треугольника отрезки \(AN\) и \(CM\) будут еще и медианами, значит, точки \(М\) и \(N\) окажутся серединами сторон \(ВЕ\) и \(ВF\). Но тогда отрезок будет средней линией треугольника \(ВЕF\)! Это значит, что он параллелен стороне \(АС\) нашего треугольника и равен половине отрезка \(ЕF\). Давайте найдем длину отрезка \(EF\). Для этого представим \(AE = AC – CE = c – b и FC = AC – AF = c – a\). Следовательно, \(EF = AC – AE – FC = c – (c – b) – (c – a) = c – c + b – c + a = a + b – c\). Но тогда \(MN = \frac{EF}{2} = \frac{(a + b - c)}{2}\). Ответ: \(\frac{(a + b - c)}{2}\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/, 263-1, 263-2.png'>