№41087

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника, средняя линия треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Средняя линия четырехугольника равна половине суммы двух его сторон, не имеющих с ней общих точек. Докажите, что данный четырехугольник трапеция или параллелограмм.

Ответ

NaN

Решение № 41070:

Пусть точки \(M\) и \(N\) – середины противоположных сторон \(AB\) и \(CD\) четырехугольника \(АВСD\). Тогда отрезок \(MN\) будет средней линией этого четырехугольника. По условию он равен половине суммы двух других сторон \(ВС\) и \(АD\) нашего четырехугольника. Мы с вами докажем, что эти стороны должны быть параллельными. Сделаем дополнительное построение: проведем диагональ \(AC\) и отметим ее середину – точку \(K\). Отрезки \(MK\) и \(KN\) будут средними линиями в треугольниках \(BAC\) и \(ACD\) соответственно. По свойству средних линий эти отрезки будут параллельны соответственно сторонам \(BC\) и \(AD\) и равны их половинам. Давайте теперь проведем нашу среднюю линию \(МN\) и посмотрим на треугольник \(МКN\). Если обозначить длины сторон \(ВС\) и \(АD\) четырехугольника буквами \(а\) и \(b\), то \(МК = а/2, KN = b/2\). По условию средняя линия четырехугольника \(МN = а/2 + b/2\). Но тогда получается, что \(МК + KN = МN\). То есть в треугольнике \(МКN\) одна сторона равна сумме двух других. Но ведь по известному неравенству треугольника такого не может быть! Значит, треугольника \(МКN\) не существует. Догадываетесь, что из этого следует? Правильно: точки \(M, K\) и \(N\) лежат на одной прямой. Именно в этом случае выполняется равенство \(МК + KN = МN\). Помните, что прямая \(ВС\) была параллельна прямой \(МК\), а прямая \(АD\) параллельна прямой \(KN\) ? Поскольку отрезки \(МК\) и \(KN\) лежат на одной прямой, то стороны \(ВС\) и \(АD\) должны быть параллельны этой прямой, значит, они параллельны друг другу. Итак, мы доказали, что стороны \(BC\) и \(AD\) четырехугольника параллельны, то есть он может быть трапецией или параллелограммом. Ч. т. д.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/261-1.png'>