№41086

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, Замечательные точки треугольника, средняя линия треугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Диагонали четырехугольника равны. Докажите, что его средние линии перпендикулярны.

Ответ

NaN

Решение № 41069:

Давайте рассмотрим четырехугольник \(KLMN\), образованный серединами всех сторон исходного четырехугольника. Мы докажем, что диагонали четырехугольника \(KLMN\) перпендикулярны. Вначале посмотрим на его стороны \(KL\) и \(MN\). Они являются средними линиями треугольников \(ABC\) и \(ADC\) с одинаковым основанием \(AC\). По свойству средней линии треугольника эти отрезки равны половине диагонали \(AC\). А теперь посмотрите на стороны \(LM\) и \(NK\). Они являются средними линиями в треугольниках \(BCD\) и \(BAD\). Поскольку у этих треугольников основание \(BD\) общее, то по теореме о средней линии данные отрезки равны половине диагонали \(BD\). По условию диагонали \(AC\) и \(BD\) четырехугольника \(АВСD\) равны, значит, и все отрезки \(KL, LM, MN\) и \(NK\) будут равны между собой. Мы доказали, что все стороны четырехугольника \(KLMN\) равны, значит, он ромб. По свойству ромба, его диагонали перпендикулярны. Но тогда перпендикулярны и средние линии четырехугольника \(ABCD\). Ч. т. д.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/260-1.png'>