№41040

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Одна из диагоналей трапеции равна сумме ее оснований и образует с ними углы \(66^{\circ}\). Найдите угол между диагоналями этой трапеции. Ответ дать в градусах.

Ответ

\(57^{\circ}\)

Решение № 41023:

Пусть диагональ \(АС\) трапеции \(АВСD\) равна сумме ее оснований \(ВС\) и \(АD\). По условию угол \(САD\) равен \(66^{\circ}\). Сделаем дополнительное построение: на продолжении основания \(АD\) трапеции отложим отрезок \(DЕ = ВС\). Тогда четырехугольник \(DВСЕ\) по признаку будет параллелограммом. Значит, прямые \(ВD\) и \(СЕ\) параллельны и угол \(АСЕ\) равен углу между диагоналями трапеции \(\alpha\). По условию диагональ \(АС\) равна сумме ее оснований, то есть, должно быть \(АС = АЕ\). Тогда треугольник \(АСЕ\) равнобедренный, откуда \(2\alpha + 66^{\circ} = 180^{\circ}\). Значит, \(\alpha = 57^{\circ}\). Ответ: 57^{\circ}\).