№41039

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Один из углов трапеции в два раза больше противоположного. Найдите боковую сторону при данном угле, если ее основания равны \(а\) и \(b\) \((а < b)\).

Ответ

\(b - a\)

Решение № 41022:

Пусть угол при вершине \(D\) трапеции \(АВСD\) равен \(\alpha\), а ее противоположный угол при вершине \(В\) в два раза его больше. Значит, он равен \(2\alpha\). Сделаем дополнительное построение: на большем основании \(АD\) трапеции возьмем точку \(Е\) так, что \(ЕD = ВС = а\). Тогда четырехугольник \(ЕВСD\) будет параллелограммом по 4 признаку. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, угол \(ЕВС\) тоже равен \(\alpha\). Но тогда и угол \(АВЕ\) равен \(\alpha\). А поскольку прямые \(ВЕ\) и \(СD\) параллельны, то углы \(АЕВ\) и \(АDС\) должны быть равны как соответствующие. Таким образом, угол \(АЕВ\) равен углу \(АВЕ\) и треугольник \(АВЕ\) будет равнобедренным. А раз так, то \(АВ = АЕ = b - а\). Ответ: \(b-a\).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/213-1.png'>