№40958

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм, ромб, прямоугольники, квадрат,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

На стороне ромба во вне его построили равносторонний треугольник. Окружность проходит через одну вершину этого треугольника и две вершины ромба так, как это показано на рисунке. Найдите радиус окружности, если сторона ромба равна 1.

Ответ

1

Решение № 40941:

Обозначим данный нам ромб как \(АВСD\), а равносторонний треугольник \(ВЕС\). А теперь сделаем «обратный ход»: построим на стороне \(АD\) нашего ромба такой же равносторонний треугольник \(АОD\). Легко доказать, что стороны этих треугольников будут соответственно параллельны друг другу. Но тогда отрезки \(OD\) и \(ЕС\) параллельны и равны. Это значит, что четырехугольник \(ОЕСD\) должен быть параллелограммом по признаку. Поэтому отрезок \(ОЕ = СD = 1\). Но тогда \(ОА = ОЕ = ОD = 1\). То есть, точка \(О\) равноудалена от вершин треугольника \(АЕD\) и должна совпадать с центром данной нам по условию окружности. А раз так, то радиус этой окружности равен стороне данного в условии ромба. Ответ: 1.