№40957

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм, ромб, прямоугольники, квадрат,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

На гипотенузе \(АВ\) прямоугольного треугольника \(АВС\) во внешнюю от него сторону построили квадрат \(АВDE\). Известно, угол \(ЕСВ\) равен \(30^{\circ}\). Найдите длину катета \(АС\), если отрезок \(СЕ\) равен 6.

Ответ

3

Решение № 40940:

Помните свойство прямоугольного треугольника с углом \(30^{\circ}\)? В такомтреугольнике против угла \(30^{\circ}\) лежит катет, который равен половине гипотенузы. Но на данном чертеже нет такого треугольника... Значит, его нужно построить! Лучше всего взять за его гипотенузу сразу отрезок \(СЕ\). Итак, давайте сделаем дополнительное построение: опустим из точки \(Е\) перпендикуляр \(СН\) на прямую \(АС\). Мы сразу получим прямоугольный треугольник \(ЕСН\) с углом \(30^{\circ}\). По свойству такого треугольника его катет \(ЕН\) равен половине гипотенузы, то есть, \(ЕН = 6 : 2 = 3\). Какое все это отношение имеет к отрезку \(АС\)? Все очень просто – достаточно посмотреть на треугольники \(АЕН\) и \(ВАС\). Эти прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузы, поскольку стороны у квадрата равны. Кроме того, острые углы у данных треугольников тоже равны. В самом деле, давайте обозначим величину угла \(ВАС\) одного из этих треугольников как \(\alpha\). Тогда угол \(ЕАН\) второго треугольника будет равен \(180^{\circ} – 90^{\circ} – \alpha = 90^{\circ} – \alpha\). Значит, его угол \(АЕН\) равен \(90^{\circ} – (90^{\circ} – \alpha) = \alpha\). Итак, треугольники \(АЕН\) и \(ВАС\) равны по гипотенузе и катету. Поэтому АС = ЕН = 3. Ответ: 3.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/131-1.png'>