№40956

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм, ромб, прямоугольники, квадрат,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Докажите, что середины сторон ромба образуют прямоугольник.

Ответ

NaN

Решение № 40939:

Пусть точки \(М\) и \(К\) – середины противоположных сторон \(АD\) и \(ВС\) ромба \(АВСD\). Четырехугольник \(АВМК\) должен быть параллелограммом по признаку, поскольку отрезки \(АМ\) и \(ВК\) равны и параллельны. Значит, отрезок \(МК\) параллелен и равен стороне \(АВ\). Точно так же легко доказать, что отрезок \(ЕF\), соединяющий середины сторон \(АВ\) и \(СD\) параллелограмма, параллелен и равен его стороне \(ВС\). Отсюда сразу следует, что отрезки \(МК\) и \(ЕF\) разбивают весь большой ромб на четыре меньших ромба. Обозначим точку пересечения этих отрезков буквой \(О\). Тогда мы имеем, что \(ОМ = ОЕ = ОК = ОF\). Поэтому четырехугольник \(МЕКF\) должен быть параллелограммом, ведь его диагонали \(МК\) и \(ЕF\) делят друг друга пополам. Но эти диагонали еще и равны, поэтому данный параллелограмм по признаку будет прямоугольником. Ч. т. д.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/130-1.png'>