№40955

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм, ромб, прямоугольники, квадрат,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

На клетчатой бумаге нарисовали четырехугольник так, как это показано на рисунке. Докажите, что этот четырехугольник – квадрат.

Ответ

NaN

Решение № 40938:

Обозначим данный четырехугольник \(АВСD\) и впишем его в квадрат \(ЕКМN\), образованный линиями сетки. Легко заметить, что прямоугольные треугольники \(АЕD, ВКА, СМВ\) и \(DNC\) равны по двум катетам. Следовательно равны их гипотенузы. Значит, четырехугольник \(АВСD\) является ромбом. Мы покажем, что угол этого ромба равен \(90^{\circ}\). В самом деле, давайте обозначим равные углы \(АDE\) и \(DCN\) в двух из рассмотренных равных треугольников буквой \(\alpha\), а угол \(СDN\) - буквой \(\beta\). Легко понять, что \(\alpha + \beta = 90^{\circ}\), ведь это сумма острых углов прямоугольного треугольника. Поэтому угол \(АDC\) нашего ромба будет равен \(180^{\circ} – (\alpha + \beta) = 180^{\circ} – 90^{\circ} = 90^{\circ}\). Значит, ромб АВСD имеет прямой угол. Но тогда и остальные его углы тоже прямые. Значит, он квадрат. Ч. т. д.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/129-1.png'>