№40953

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм, ромб, прямоугольники, квадрат,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Диагональ прямоугольника делит его угол на два угла, величины которых относятся как 7:11. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дать в градусах.

Ответ

\(70^{\circ}\)

Решение № 40936:

Пусть диагонали данного прямоугольника \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\). Поскольку у прямоугольника диагонали равны и делятся точкой их пересечения пополам, то \(АО = ВО = СО = DО\). По условию углы \(САD\) и \(ВАС\) относятся как 7:11, поэтому мы обозначим их величины как \(7х\) и \(11х\). Каждый угол прямоугольника равен \(90^{\circ}\), значит \(7х + 11х = 90^{\circ}\). Откуда получаем, что \(х = 5^{\circ}\). Следовательно угол \(САD = 7х = 35^{\circ}\). Угол \(АDO\) тоже равен \(35^{\circ}\), поскольку треугольник \(АОD\) равнобедренный. Давайте теперь вычислим угол \(СОD\). Он является внешним к треугольнику АОD, поэтому равен \(35^{\circ} + 35^{\circ} = 70^{\circ}\). По определению данный угол является углом между диагоналями нашего прямоугольника, ведь это меньший из углов, возникающих при их пересечении. Ответ: 70^{\circ}.