№40897

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Петя сформулировал пятый признак параллелограмма. Звучит он так: если два противоположных угла четырехугольника равны, а соединяющая их диагональ делит другую его диагональ пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Верен ли признак Пети?

Ответ

NaN

Решение № 40880:

Пусть четырехугольнике \(АВСD\) углы при вершинах \(В\) и \(D\) равны, а соединяющая их диагональ \(ВD\) пересекает другую его диагональ \(АС\) в ее середине – точке \(М\). Сразу найти на этом чертеже равные треугольники не получится – для этого не хватает данных. Давайте опять рассуждать от противоположного. Предположим, что наш четырехугольник не обязательно параллелограмм. Тогда его диагональ \(ВD\) не должна делиться точкой \(М\) пополам. Допустим, например, что \(ВМ < DM\). Сделаем теперь дополнительное построение: отложим от точки \(М\) на отрезке \(МD\) отрезок, равный \(ВМ\). То есть, возьмем точку \(D_{1}\) так, что \(ВМ = МD_{1}\) . Тогда четырехугольник \(АВСD_{1}\) будет параллелограммом по третьему признаку. Значит, его угол \(АD_{1}С\) будет равен углу \(АВС\). По условию углы при вершинах \(В\) и \(D_{1}\) равны, поэтому получается, что угол \(АDС\) равен углу \(АD_{1}С\). А этого не может быть, поскольку тогда сумма углов невыпуклого четырехугольника \(АDСD_{1}\) будет больше, чем \(360^{\circ}\). Мы получили противоречие. Значит, отрезки \(ВМ\) и \(DМ\) на самом деле равны. Но тогда четырехугольник \(АВСD\) параллелограмм по признаку. То есть, признак Пети верен. Ответ: признак верен.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/71-1.png'>