№40896

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Внутри угла взяли произвольную точку \(О\). Как провести через нее прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри угла, делился точкой \(О\) пополам? Сколько таких прямых можно провести?

Ответ

NaN

Решение № 40879:

Попробуем вписать в данный угол параллелограмм так, чтобы точка \(О\) оказалась на пересечении его диагоналей. Поскольку диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, то одна из них как раз даст нам положение нужной нам прямой. Обозначим вершину данного угла буквой \(М\) и соединим ее с точкой \(О\). Теперь сделаем дополнительное построение: продлим отрезок \(МО\) на свою длину за точку \(О\) и построим точку \(К\) так, что \(МО = ОК\). Если через точку \(К\) провести прямые \(АК\) и \(ВК\), каждая из которых параллельна стороне нашего угла, то получится параллелограмм \(МАКВ\). А теперь проведем его диагональ \(АВ\) – она разделится нашей точкой \(О\) пополам по свойству параллелограмма. Ясно, что эта прямая \(АВ\) – искомая. Данное построение можно провести для любой точки \(О\) внутри угла. А сколько нужных прямых можно провести через данную нам точку \(О\)? Приведенное нами построение однозначно. Но, возможно, существуют и другие способы построить нужную прямую. Как же это выяснить? Попробуем рассуждать от противоположного. То есть, предположим, что нам удалось построить две нужные прямые\(АВ\) и \(A_{1}B_{1}\) через одну точку \(О\). Давайте рассмотрим тогда четырехугольник \(AA_{1}BB_{1}\). Его диагонали делят друг друга пополам, поэтому он должен быть параллелограммом по признаку. Но тогда его стороны \(AA_{1}\) и \(BB_{1}\) должны быть параллельны, а ведь они пересекаются в точке \(М\). Мы получили противоречие. Значит, второй такой прямой \(A_{1}B_{1}\) не может быть. Ответ: нужная прямая всегда существует и единственна.