№40895

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Точка \(М\) – середина стороны \(CD\) параллелограмма \(ABCD\). Точка \(К\) делит сторону \(ВС\) на отрезки с длинами а и b так, что угол \(АМК = 90^{\circ}\). Найдите длину отрезка \(АК\).

Ответ

NaN

Решение № 40878:

Сделаем дополнительное построение: продолжим отрезок \(МК\) до пересечения с прямой \(АD\)\( в точке \(Е\). Вы видите на чертеже равные треугольники? Конечно, это треугольники \(КМС\) и \(ЕМD\)! Но увидеть их мало, нужно еще доказать их равенство. Давайте это сделаем. Углы \(КСМ\) и \(ЕDМ\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей \(СD\). Углы \(КМС\) и \(ЕМD\) равны как вертикальные. Значит, треугольники \(КМС\) и \(ЕМD\) действительно равны по второму признаку. Отсюда следует, что \(КМ = МЕ\) и \(DE = СК = b\). Посмотрите теперь на треугольник \(АКЕ\): отрезок \(АМ\) в нем является и медианой и высотой. Вот где нам пригодился данный в условии прямой угол! Значит, этот треугольник равнобедренный и \(АК = АЕ\). Отрезок \(АК\) был очень неудобным для вычисления, а длину отрезка \(АЕ\) легко найти: \(АЕ = АD + DE = a + b + b = 2a + b\). В последнем равенстве мы воспользовались тем, что стороны \(АD и ВС\) у параллелограмма равны \(a + b\). Ответ: \(2a + b\).