№40894

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Вершину \(А\) параллелограмма \(АВСD\) соединили с серединой \(М\) его стороны \(СD\). Известно, что угол \(МАD\) равен \(30^{\circ}\). Докажите, что расстояние от вершины \(В\) до прямой \(АМ\) равно одной из сторон этого параллелограмма.

Ответ

NaN

Решение № 40877:

Сделаем то же дополнительное построение, которое нам помогло в первой задаче: продлим отрезок \(АМ\) до пересечения с прямой \(ВС\) в точке \(К\). Тогда треугольники \(АМD\) и \(КМС\) будут равны по второму признаку, поскольку \(DM = СМ\), их углы при вершине \(М\) вертикальные, а углы при вершинах \(D\) и \(С\) равны как накрест лежащие при параллельных. Значит, должно быть \(СК = АD = а\). Но противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому \(ВС = АD = а\). Кроме того, угол \(СКМ = 30^{\circ}\). Давайте теперь вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина отрезка перпендикуляра, опущенного из нее на эту прямую. Пусть \(ВН\) – нужный нам перпендикуляр. А теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ВКН\). Поскольку он имеет угол \(30^{\circ}\), то по свойству такого треугольника его противоположный катет должен быть равен половине гипотенузы. Значит, \(ВН = \frac{1}{2} ВК = \frac{1}{2} (2a) = a\). Таким образом, расстояние от точки \(B\) до прямой \(АМ\) равно стороне \(ВС\) данного нам параллелограмма. Ч. т. д.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/68-1.png'>