№40854

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

На двух сторонах параллелограмма построили равносторонние треугольники так, как это показано на рисунке. Докажите, что треугольник АВС тоже равносторонний.

Ответ

NaN

Решение № 40837:

Обозначим наш параллелограмм как \(АЕFK\), а величину угла \(АЕF\) за \(\alpha\). Поскольку по свойству параллелограмма его противоположные углы равны, то угол \(АКF\) также равен \(\alpha\). Вы помните, что все углы равностороннего треугольника равны \(60^{\circ}\)? Тогда можно через \(\alpha\) выразить угол \(АЕВ\). Он будет равен \(360^{\circ} – 60^{\circ} – \alpha = 300^{\circ} – \alpha\). Тому же будет равен и угол \(АКС\). Отрезки \(АЕ\) и \(KF\) равны как стороны параллелограмма. Но треугольник \(KFC\) равносторонний, поэтому \(КF = СК\). Значит, \(АЕ = СК\). Точно также можно доказать, что \(ВЕ = АК\). Давайте теперь посмотрим на треугольники \(АЕВ\) и \(АКС\). Они равны по первому признаку. Действительно, их углы \(АЕВ\) и \(АКС\) равны, сторона \(АЕ = СК\) и \(ВЕ = АК\). Значит, \(АВ = AС\). Вычислим теперь угол \(ВFC\). Он складывается из углов двух равносторонних треугольников и угла параллелограмма при вершине \(F\). Но этот угол параллелограмма равен \(180^{\circ} – \alpha\). Значит, угол \(ВFC = 60^{\circ} + (180^{\circ} – \alpha) + 60^{\circ} = 300^{\circ} – \alpha\). Получается, что треугольник \(ВFC\) также равен треугольникам \(АЕВ\) и \(АКС\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что \(АВ = ВС = АС\), то есть треугольник \(АВС\) равносторонний. Ч. т. д.