№40853

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Вершины параллелограмма соединили четырьмя отрезками с серединами его сторон так, как это показано на рисунке. Докажите, что точки пересечения этих отрезков тоже образуют параллелограмм.

Ответ

NaN

Решение № 40836:

Обозначим середины сторон \(ВС\) и \(AD\) параллелограмма \(AВСD\) буквами \(К\) и \(Е\). Противоположные стороны параллелограмма равны по свойству, поэтому \(ВС = АD\). Половины же равных сторон также равны, значит, \(ВК = ЕD\). Но эти отрезки лежат на параллельных прямых \(ВС\) и \(АD\). Значит, две стороны четырехугольника \(ЕВКD\) параллельны и равны, поэтому он должен быть параллелограммом по 4 признаку. Отсюда сразу следует, что прямые \(ВЕ\) и \(КD\) должны быть параллельны друг другу. Теперь рассмотрим четырехугольник \(АМСN\), где точки \(М\) и \(N\) – середины сторон \(АВ\) и \(СD\). Он также будет параллелограммом по 4 признаку. Отсюда следует, что прямые \(АN\) и \(СМ\) параллельны. Но тогда точки пересечения четырех отрезков из условия задачи образуют четырехугольник, противоположные стороны которого лежат на параллельных прямых. Значит, он параллелограмм по определению. Ч. т. д.