№40852

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Две стороны четырехугольника параллельны, а одна его диагональ делит другую пополам. Является ли данный четырехугольник параллелограммом?

Ответ

NaN

Решение № 40835:

Пусть стороны \(AB\) и \(CD\) четырехугольника АВСD параллельны, а его диагонали пересекаются в точке \(О\). По условию одна из диагоналей данного четырехугольника делит другую пополам. Будем считать, что \(ВО = ОD\). Углы \(АВО\) и \(СDО\) должны быть равны, поскольку они накрест лежащие при двух параллельных и секущей \(ВD\). Кроме того, углы \(АОВ\) и \(СОD\) равны как вертикальные. Значит, треугольники \(АОВ\) и \(СОD\) равны по второму признаку. Поэтому \(АО = СО\). Но тогда обе диагонали нашего четырехугольника делят друг друга пополам. Значит, он должен быть параллелограммом по 3 признаку. Ответ: данный четырехугольник является параллелограммом.