№38763

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, правильные многоугольники,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки на окружности радиуса \(R\), описанной около правильного \(n-угольника\), до его вершин равна \(2nR^{2}\).

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 38747:

Пусть \(Х\) - точка на описанной окружности, \(О\) - центр правильного многоугольника \(A_{1} ... A_{n}\) Тогда \((ХА_{i})^2 = (\vec{XO}) + \vec{OA_{i}})^2 = 2R^2 + 2(\vec{XO}, \vec{OA_{i}})\)Сложите такие выражения для всех \(і\) и воспользуйтесь тем, что \(\vec{OA_{1}} + ... + \vec{OA_{n}} = \vec{0}\). В результате получите требуемое