№38705

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Задачи на построение с помощью циркуля и линейки,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Даны окружности \(S_{1}\) и \(S_{2}\) и точка \(А\). Проведите через точку \(А\) прямую \(l\) так, чтобы окружности \(S_{1}\) и \(S_{2}\) высекали на ней равные хорды.

Ответ

NaN

Решение № 38689:

Предположите, что точки \(М\) и \(N\), в которых прямая \(l\) пересекает окружность \(S_{2}\) построены. Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) - центры окружностей \(S_{1}\) и \(S_{2}\); \(O`_{1}\) - образ точки \(О_{1}\), при параллельном переносе, переводящем точку \(М\) в точку \(N\), \(S`_{1}\), - образ окружности \(S_{1}\), при этом переносе. Проведём касательные \(АР\) и \(AQ\) к окружностям \(S`_{1}\) и \(S_{2}\) Тогда \(AQ^{2} = AM \cdot AN - AP^{2}\), а значит, \(O`_{1}A^{2} = AP^{2} + R^{2}\), где \(R\) - радиус окружности \(S`_{1}\). Отрезок \(АР\) можно построить, поэтому можно построить и огрезок длины \(АО`_{1}\). Точка \(О`_{1}\ это точка пересечения окружности радиуса \(АО`_{1}\), с центром \(А\) и окружности, диаметром которой служит отрезок \(О_{1}О_{2}\).