№38692

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Преобразования подобия,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что выпуклые четырёхугольники подобны, если их соответственные углы равны и соответственные углы между диагоналями тоже равны.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38676:

Преобразованием подобия можно совместить сторону одного данного четырёхугольника со стороной другого так, чтобы углы при этих сторонах тоже совместились. Рассмотрите четырёхугольники \(ABCD\) и \(ABC_{1}D_{1}\) с общей стороной \(АВ\) и общими углами с вершинами \(А\) и \(В\); диагонали четырёхугольников пересекаются в точках \(О\) и \(О_{1}\) (рис. 279). Стороны \(CD\) и \(C_{1}D_{1}\) параллельны или совпадают. Предположите, что они не совпадают и, для определённости, \(AC_{1} > AC\). Тогда \(\angle ABC_{1} > \angle ABC и \(\angle BAD_{1} > \angle BAD\), поэтому \(\angle AO_{1}B < \angle AOB\), что противоречит условию.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№25.22.png'>