№38687

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Преобразования подобия,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что центр окружности \(S\) из задачи 25.16 - это середина отрезка \(ОН\), где \(О\) - центр описанной окружности, а радиус окружности \(S\) равен половине радиуса описанной окружности.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38671:

Окружность \(S\) проходит через точки \(А_{1}\) и \(А_{2}\), поэтому её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(А_{1}А_{2}\). Три таких серединных перпендикуляра пересекаются в середине отрезка \(ОН\). Окружность \(S\) переходит в окружность, описанную около треугольника \(АВС\), при гомотетии с коэффициентом \(-2\) и центром \(М\), поэтому радиус окружности \(S\) равен половине радиуса описанной окружности.