№38686

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Преобразования подобия,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что середины сторон треугольника и основания высот лежат на одной окружности \(S\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38670:

Треугольник \(ВСВ_{2}\) прямоугольный, поэтому его медиана \(В_{2}А_{1}\) равна половине гипотенузы \(ВС\). Следовательно, диагонали или боковые стороны трапеции с основаниями \(A_{1}C_{1}\) и \(В_{1}В_{2}\) равны. Поэтому эта трапеция равнобедренная и около неё можно описать окружность. Следовательно, точка \(В_{2}\) лежит на окружности, описанной около треугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\). Аналогично точки \(А_{2}\) и \(С_{2}\), лежат на этой окружности.