№38685

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Преобразования подобия,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что точки \(Н\), \(О\) и \(М\) лежат на одной прямой.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38669:

При гомотетии с коэффициентом \(-2\) и центром в точке \(М\) точки \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\) переходят в вершины треугольника. Поэтому при этой гомотетии ортоцентр треугольника \(А_{1}B_{1}C_{1}\) переходит в ортоцентр \(Н\) треугольника \(АВС\). Но ортоцентр треугольника \(А_{1}B_{1}C_{1}\) - это центр \(O\) описанной около треугольника \(АВС\) окружности.