№38683

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Преобразования подобия,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Продолжения сторон \(АВ\) и \(СD\) четырёхугольника \(ABCD\), вписанного в окружность \(S\), пересекаются в точке \(Р\), а продолжения сторон \(ВС\) и \(AD\) - в точке \(Q\). Биссектриса угла \(APD\) пересекает сторону \(AD\) в точке \(К\), биссектриса угла \(AQB\) пересекает сторону \(АВ\) в точке \(L\). Докажите, что окружность \(S\) и окружность, описанная вокруг треугольника \(AKL\), касаются.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38667:

Из свойств биссектрисы и теоремы синусов получите \(AK : KD = AP : DP = \sin{D} : \sin{A}\) и \(AL: LB = AQ : BQ = \sin{B} : \sin{A}\). Сумма углов \(В\) и \(D\) равна \(180^\circ\), поэтому \(\sin{B} = \sin{D}\). Следовательно, \(AK : KD = AL : LB\), поэтому рассматриваемые окружности гомотетичны.