№38676

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Преобразования подобия,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Медианы \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) треугольника \(АВС\) пересекаются в точке \(М\); \(Р\) - произвольная точка. Прямая \(l_{a}\) проходит через точку \(А\) параллельно прямой \(РА_{1}\); прямые \(l_{b}\) и \(l_{c}\) определяются аналогично. Докажите, что: а) прямые \(l_{a}\), \(l_{b}\) и \(l_{c}\) пересекаются в одной точке \(Q\); б) точка \(М\) лежит на отрезке \(PQ\), причём \(PM : MQ = 1: 2\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38660:

При гомотетии с центром \(М\) и коэффициентом \(-2\) прямые \(РА_{1}\), \(РB_{1}\) и \(РC_{1}\) переходят в прямые \(l_a\), \(l_b\) и \(l_c\), поэтому точка \(Q\) является образом точки \(Р\) при этой гомотетии.