№38674

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Преобразования подобия,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38658:

Пусть продолжения боковых сторон \(АВ\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(Р\), а её диагонали - в точке \(О\). При гомотетии с центром \(Р\), переводящей отрезок \(ВС\) в отрезок \(AD\), точка \(М\) переходит в точку \(N\), поэтому точка \(Р\) лежит на прямой \(MN\). При гомотетии с центром \(О\), переводящей отрезок \(ВС\) в отрезок \(DA\), точка \(М\) переходит в точку \(N\), поэтому точка \(O\) тоже лежит на прямой \(MN\). Замечание. Другое решение приведено в указании к задаче 17.13.