№38658

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Преобразования плоскости, Движения,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Найдите множество всех точек \(М\), лежащих внутри равностороннего треугольника \(АВС\), для которых \(MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}\).

Ответ

NaN

Решение № 38642:

При повороте на \(60^\circ\) с центром \(А\), переводящем вершину \(В\) в вершину \(С\), точка \(М\) переходит в некоторую точку \(М_{1}\) , а точка \(С\) - в точку \(D\). Равенство \(МА^{2} = MB^{2} + MO^{2}\) эквивалентно равенству \(M_{1}M^{2} = M_{1}C^{2} + MC^{2}\) T. e. тому, что \(MCM_{1} = 90^\circ\). Поэтому \(\angle MCB + \angle MBC = \angle MCB + \angle M_{1}CD = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\) , т. е. \(\angle BMC = 150^\circ\). Искомое множество лежащая внутри треугольника дуга окружности, из которой отрезок \(ВС\) виден под углом \(150^\circ\)