№38566

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной в него окружности со сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38550:

Пусть окружность, вписанная в треугольник, касается сторон \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) в точках \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\). Воспользуйтесь задачей 22.34 и тем, что \(AB_{1} = AC_{1}\), \(BA_{1} = BC_{1}\) и \(СА_{1} = СВ_{1}\).