№38565
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Условие
На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) отмечены точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\) так, что \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{1}}{BC_{1}} = 1\). Докажите, что отрезки \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в одной точке.
Ответ
Утверджение доказано.
Решение № 38549:
Рассмотрите точку \(O\), в которой пересекаются отрезки \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\), и проведите прямую \(СО\). Эта прямая пересекает отрезок \(АВ\) в некоторой точке \(С_{2}\). Согласно задаче 22.30 выполняется равенство \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{2}}{BC_{2}} = 1\). Следовательно, \(AC_{1} : BC_{1} = AC_{2} : ВС_{2}\). Точки \(С_{1}\) и \(С_{2}\) лежат на отрезке \(АВ\), поэтому согласно задаче 22.33 эти точки совпадают, т. е. отрезок \(СС_{1}\) тоже проходит через точку \(О\).