№38561

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) отмечены точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\) так, что отрезки \(AA_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в одной точке. Докажите, что \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{1}}{BC_{1}} = 1\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38545:

Обозначьте точку пересечения отрезков \(AA_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(CC_{1}\) буквой \(O\). Тогда \(BA_{1} : CA_{1} = S_{ABO} : S_{ACO}\).