№38560

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из вершины \(С\) прямого угла треугольника \(АВС\) проведена высота \(СН\), в треугольнике \(АСН\) проведена биссектриса \(СЕ\). Прямая, проходящая через точку \(В\) параллельно \(СЕ\), пересекает прямую \(СН\) в точке \(F\). Докажите, что прямая \(EF\) делит отрезок \(АС\) пополам.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38544:

Пусть прямая \(EF\) пересекает прямую АС в точке \(D\). Согласно задаче 22.28 выполняется равенство \(\frac{AD}{CD} \cdot \frac{CF}{HF} \cdot \frac{HE}{AE} = 1\). По свойству биссектрисы \(HE : AE = CH : CA = BH : BC\). Оба угла \(ВСЕ\) и \(ВЕС\) равны \(90^\circ - \frac{\angle B}{2}\), поэтому \(BE = BC\). Следовательно, \(CF : HF = BE : ВH = ВС : ВН\).