№38559

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) или на их продолжениях отмечены точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\), лежащие на одной прямой. Докажите, что \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{1}}{BC_{1}} = 1\)

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38543:

Проведите из вершин треугольника перпендикуляры \(АА_{2}\), \(ВВ_{2}\) и \(СС_{2}\) к прямой, на которой лежат точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\). Тогда \(ВА_{1} : СА_{1} = ВВ_{2} : СС_{2}\).