№38551

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В треугольнике \(АВС\) угол \(С\) - тупой. Докажите, что биссектрисы внешних углов ортотреугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\) с вершинами \(А_{1}\) и \(В_{1}\) и биссектриса угла \(А_{1}С_{1}В_{1}\) проходят через вершины треугольника \(АВС\) и перпендикулярны сторонам этого треугольника.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38535:

Согласно задаче 18.9 углы \(ВА_{1}С_{1}\) и \(СА_{1}В_{1}\) равны (оба они равны углу \(А\)). Поэтому прямая \(АА_{1}\), перпендикулярная прямой ВС, делит пополам внешние углы треугольника \(А_{1}B_{1}C_{1}\) с вершиной \(А_{1}\). Далее, углы \(AC_{1}В_{1}\) и \(BC_{1}A_{1}\) равны (оба они равны углу \(С\)), поэтому луч \(С_{1}С\), перпендикулярный прямой \(АВ\), является биссектрисой угла \(А_{1}C_{1}B_{1}\).