№38547

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Пусть \(О\) - центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\), \(M\) - середина стороны \(ВС\), \(Р\) - середина отрезка \(АН\). а) Докажите, что \(АН = 2OМ\). б) Докажите, что отрезок \(МР\) равен радиусу окружности, описанной около треугольника \(АВС\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38531:

а) Пусть \(Q\) - середина отрезка \(CH\), \(N\) - середина стороны \(АВ\). В треугольниках \(PQH\) и \(MNO\) стороны \(PQ\) и \(MN\) равны половине стороны \(АС\) и параллельны ей, а прилегающие к ним углы равны, поскольку \(QH \parallel NO\) и \(PH \parallel МО\). Поэтому \(АН = 2РН = 2МО\). б) Стороны \(ОМ\) и \(РА\) четырёхугольника \(МОАР\) равны и параллельны, поэтому он - параллелограмм, и \(МР = ОA\).