№38543

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Радиус окружности, описанной около треугольника \(АВС\), равен \(R\). Докажите, что \(АН^2 + ВС^2 = 4R^2\).

Ответ

NaN

Решение № 38527:

Проведите через вершины треугольника \(АВС\) прямые, параллельные его противолежащим сторонам, и рассмотрите треугольник \(А_{1}В_{1}С_{1}\) с вершинами в точках пересечения этих прямых. Точка \(Н\) является центром окружности, описанной около треугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\), а радиус этой окружности равен \(2R\). Поэтому \(4R^2 = B_{1}H^2 = B_{1}A^2 + AH^2 = BC^2 + AH^2\).