№38538

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Треугольник \(АВС\) остроугольный. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников \(АВС\) и \(АНС\), равны.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38522:

Первый способ. Пусть радиус окружности, описанной около треугольника \(АВС\), равен \(R\), а радиус окружности, описанной около треугольника \(ABH\), равен \(R_{1}\). Тогда \(AB = 2R\sin C\) и \(AB = 2R_{1}\sinAHB = 2R_{1}\sinC\), поэтому \(R = R_{1}\). Второй способ. Пусть прямая \(АН\) пересекает окружность, описанную около треугольника \(АВС\), в точке \(D\). Тогда треугольники \(ВСН\) и \(ВСD\) равны по стороне и прилегающим к ней углам (\(\angle HBC = 90^\circ - \angle C = \angle CAD = \angle CBD), а окружность, описанная около треугольника \(ВСD\), описана и около треугольника \(АВС\).